Binomial Tilfeldige Variabler.

Sa langt, i var diskusjon om diskrete tilfeldige variabler, har vi blitt introdusert til:

Sannsynlighetsfordelingen, som forteller oss hvilke verdier en variabel tar, og hvor ofte det tar dem. Midlet av tilfeldig variabel, som forteller oss den langsiktige gjennomsnittsverdien som tilfeldig variabel tar. Standardavviket til den tilfeldige variabelen, som forteller oss en typisk (eller langvarig gjennomsnittlig) avstand mellom gjennomsnittet av tilfeldige variabelen og verdiene det tar.

Vi vil na introdusere en spesiell klasse av diskrete tilfeldige variabler som er sv rt vanlige, fordi som du vil se, vil de komme opp i mange situasjoner – binomielle tilfeldige variabler.

Slik presenterer vi dette materialet.

Forst skal vi forklare hva slags tilfeldige eksperimenter som forer til en binomial tilfeldig variabel, og hvordan binomial-tilfeldig variabel er definert i disse typer eksperimenter. Vi presenterer sa sannsynlighetsfordelingen av binomial-tilfeldig variabel, som vil bli presentert som en formel, og forklar hvorfor formelen gir mening. Vi avslutter diskusjonen var ved a presentere den gjennomsnittlige og standardavviket for binomial-tilfeldig variabel.

Som vi nettopp nevnte, begynner vi med a beskrive hva slags tilfeldige eksperimenter som gir opphav til en binomial tilfeldig variabel. Vi kaller denne typen tilfeldig eksperiment et «binomial eksperiment.»

Binomial Experiment.

Binomiale eksperimenter er tilfeldige eksperimenter som bestar av et fast antall gjentatte forsok, som kaster en mynt 10 ganger, tilfeldigvis velger 10 personer, ruller en dor 5 ganger, etc.

Disse forsokene ma imidlertid v re uavhengige i den forstand at utfallet i ett forsok ikke har noen effekt pa utfallet i andre forsok.

I hvert av disse gjentatte forsokene er det ett utfall som er av interesse for oss (vi kaller dette resultatet «suksess»), og hver av forsokene er identiske i den forstand at sannsynligheten for at forsoket vil ende i en «suksess» er det samme i hvert av forsokene.

Sa hvis for eksempel vart eksperiment kaster en mynt 10 ganger, og vi er interessert i utfallet «hoder» (var «suksess»), vil dette bli et binomialforsok, siden de ti provene er uavhengige, og sannsynligheten for at suksess er 1/2 i hver av de 10 forsokene.

La oss oppsummere og gi flere eksempler.

Kravene til et tilfeldig eksperiment for a v re et binomialt eksperiment er:

Et fast antall tester hvert forsok ma v re uavhengig av de andre. Hver proveperiode har bare to mulige utfall, kalt & # 8220; suksess & # 8221; (utfallet av interesse) og & # 8220; feil & # 8220; Det er en konstant sannsynlighet (p) for suksess for hvert forsok, hvor komplementet er sannsynligheten (1 & # 8211; p) for feil, noen ganger betegnet som q = (1 & # 8211; p)

I binomiale tilfeldige eksperimenter er antall suksesser i n forsok tilfeldig.

Det kan v re sa lavt som 0, hvis alle forsokene havner i fiasko, eller sa hoyt som n, dersom alle n provene slutter i suksess.

Den tilfeldige variabelen X som representerer antall suksesser i disse n provene kalles en binomial tilfeldig variabel, og bestemmes av verdiene til n og p. Vi sier, «X er binomial med n = … og p = …»

EKSEMPEL: Tilfeldige eksperimenter (binomial eller ikke?)

La oss se pa noen fa tilfeldige eksperimenter.

I hver av dem bestemmer vi om den tilfeldige variabelen er binomial. Hvis det er, bestemmer vi verdiene for n og p. Hvis det ikke er, forklarer vi hvorfor ikke.

En rettferdig mynt er vendt 20 ganger; X representerer antall hoder.

X er binomial med n = 20 og p = 0,5.

Du ruller en rettferdig dor 50 ganger; X er antall ganger du far en seks.

X er binomial med n = 50 og p = 1/6.

Rull en rettferdig do flere ganger; X er antall ruller det tar a fa en seks.

X er ikke binomial, fordi antall forsok ikke er lost.

Tegn tre kort tilfeldig, den ene etter den andre, uten erstatning, fra et sett med 4 kort bestaende av en klubb, en diamant, ett hjerte og en spade; X er antall diamanter valgt.

X er ikke binomial, fordi valgene ikke er uavhengige. (Sannsynligheten (p) for suksess er ikke konstant, fordi den pavirkes av tidligere valg.)

Tegn tre kort tilfeldig, etter hverandre, med erstatning, fra et sett pa 4 kort bestaende av en klubb, en diamant, ett hjerte og en spade; X er antall diamanter valgt. Provetaking med erstatning sikrer uavhengighet.

X er binomial med n = 3 og p = 1/4.

Omtrent 1 av 20 barn har en viss sykdom. La X v re antall barn med sykdommen ut av en tilfeldig prove pa 100 barn. Selv om barna blir samplet uten erstatning, antas det at vi er provetaking fra en sa stor befolkning at valgene er praktisk talt uavhengige.

X er binomial med n = 100 og p = 1/20 = 0,05.

Sannsynligheten for a ha blodtype B er 0,1. Velg 4 personer tilfeldig; X er tallet med blodtype B.

X er binomial med n = 4 og p = 0,1.

En student svarer 10 sporsmal pa sporsmalet helt tilfeldig. de fem forste er sanne / falske, den andre fem er flere valg, med fire alternativer hver. X representerer antall korrekte svar.

X er ikke binomial, fordi p endres fra 1/2 til 1/4.

Eksempel D ovenfor var ikke binomial fordi provetaking uten erstatning resulterte i avhengige valg. Spesielt er sannsynligheten for at det andre kortet er en diamant veldig avhengig av om det forste kortet var en diamant: sannsynligheten er 0 hvis det forste kortet var en diamant, 1/3 om det forste kortet ikke var en diamant. I kontrast var eksempel E binomial fordi provetaking med erstatning resulterte i uavhengige valg: sannsynligheten for at noen av de tre kortene er en diamant er 1/4 uansett hva de tidligere valgene har v rt. Pa den annen side, nar du tar et relativt lite tilfeldig utvalg av emner fra en stor befolkning, selv om provetakingen er uten erstatning, kan vi anta uavhengighet fordi den matematiske effekten av a fjerne et individ fra en meget stor befolkning ved neste valg er ubetydelig. For eksempel, i eksempel F, samplet vi 100 barn ut av befolkningen til alle barn. Selv om vi samplet barna uten erstatning, om ett barn har sykdommen eller egentlig ikke har noen effekt pa om et annet barn har sykdommen eller ikke. Det samme gjelder for eksempel (G.).

Binomial Sannsynlighetsfordeling & # 8211; Bruk Sannsynlighetsregler.

Na som vi forstar hva en binomial tilfeldig variabel er, og nar den oppstar, er det tid for a diskutere sannsynlighetsfordelingen. Vi starter med et enkelt eksempel og generaliserer deretter til en formel.

EKSEMPEL: Kortdekk.

Tenk pa en vanlig dekk med 52 kort, hvor det er 13 kort i hver dress: hjerter, diamanter, klubber og spader. Vi velger 3 kort tilfeldig med erstatning. La X v re antall diamantkort vi fikk (ut av 3).

Vi har 3 forsok her, og de er uavhengige (siden utvalget er med erstatning). Utfallet av hvert forsok kan enten v re suksess (diamant) eller fiasko (ikke diamant), og sannsynligheten for suksess er 1/4 i hver av forsokene.

X er da binomial med n = 3 og p = 1/4.

La oss bygge sannsynlighetsfordelingen av X som vi gjorde i kapitlet om sannsynlighetsfordelinger. Husk at vi begynner med et bord der vi:

registrer alle mulige utfall i 3 valg, hvor hvert valg kan resultere i suksess (en diamant, D) eller feil (en ikke-diamant, N). finn verdien av X som tilsvarer hvert utfall. bruk enkle sannsynlighetsprinsipper for a finne sannsynligheten for hvert utfall.

Ved hjelp av tilleggsprinsippet kondenserer vi informasjonen i denne tabellen for a konstruere den faktiske sannsynlighetsfordelingstabellen:

For a opprette en generell formel for sannsynligheten for at en binomial tilfeldig variabel X tar en gitt verdi x, vil vi se etter monstre i den ovennevnte fordeling. Fra maten vi konstruerte denne sannsynlighetsfordelingen, vet vi at generelt:

La oss begynne med den andre delen, sannsynligheten for at det blir x suksesser ut av 3, der sannsynligheten for suksess er 1/4.

Legg merke til at fraksjonene multiplisert i hvert tilfelle er for sannsynligheten for x-suksesser (hvor hver suksess har en sannsynlighet for p = 1/4) og de resterende (3 & # 8211; x) feilene (hvor hver fiasko har sannsynlighet for 1 & # 8211; p = 3/4).

La & # 8217; s fortsette a snakke om antall mulige utfall med x suksesser ut av tre. Her er det vanskeligere a se monsteret, slik at vi far folgende matematiske resultat.

Telling utfall.

Tenk pa et tilfeldig eksperiment som bestar av n forsok, hver ender opp i enten suksess eller fiasko. Antall mulige utfall i proveplassen som har noyaktig k suksess ut av n er:

Notasjonen til venstre leses ofte som «n» velg k. & # 8221; Merk at n! leses & # 8220; n faktorialt & # 8221; og er definert for a v re produktet 1 * 2 * 3 * & # 8230; * n. 0! er definert til a v re 1.

EKSEMPEL: Orepiercinger.

Du velger tilfeldigvis 12 mannlige studenter og registrerer om de har noen orepiercing (suksess) eller ikke. Det er mange mulige utfall for dette eksperimentet (faktisk 4,096 av dem!).

I hvor mange av de mulige resultatene av dette eksperimentet er det noyaktig 8 suksesser (studenter som har minst ett ore gjennomboret)?

Det er ingen mate at vi vil begynne a notere alle disse mulige utfallene. Resultatet ovenfor kommer til var redning.

Resultatet sier at i et eksperiment som dette, hvor du gjentar en prove n ganger (i vart tilfelle gjentar vi det n = 12 ganger, en gang for hver student vi velger), antall mulige utfall med noyaktig 8 suksesser (ut av 12) er:

Eksempel: Kort revidert.

La oss ga tilbake til vart eksempel, der vi har n = 3 forsok (velge 3 kort). Vi sa at det var 3 mulige utfall med noyaktig 2 suksesser ut av 3. Resultatet bekrefter dette siden:

Generelt, da.

Nar vi setter det sammen, far vi det sannsynlighetsfordelingen av X, som er binomial med n = 3 og p = 1/4 i.

Generelt er antall mater a fa x suksesser (og n & # 8211; x feil) i n forsok pa.

Derfor er sannsynligheten for at x-suksessene (og n-feilene) i n-forsok, hvor sannsynligheten for suksess i hvert forsok er p (og sannsynligheten for feil er 1 & # 8211; p), er lik tallet av resultater der det er x suksesser ut av n forsok, ganger sannsynligheten for x suksesser, ganger sannsynligheten for n & # 8211; x feil:

Binomial Sannsynlighet Formel for P (X = x)

hvor x kan ta noen verdi 0, 1, & # 8230; , n.

La oss se pa et annet eksempel:

EKSEMPEL: Blodtype A.

Sannsynligheten for a ha blodtype A er 0,4. Velg 4 personer tilfeldig og la X v re nummeret med blodtype A.

X er en binomial tilfeldig variabel med n = 4 og p = 0,4.

Som en anmeldelse, la forst finne sannsynlighetsfordelingen av X pa lang vei: Konstruer en forelopig tabell over alle mulige utfall i S, tilsvarende verdier av X, og sannsynligheter. Deretter konstruerer sannsynlighetsfordelingstabellen for X.

Som vanlig tillater tilleggsregelen at vi kombinerer sannsynligheter for hver mulig verdi av X:

La oss na bruke formelen for sannsynlighetsfordelingen av en binomial tilfeldig variabel, og se at ved a bruke den, far vi akkurat det vi fikk langt.

Husk at den generelle formelen for sannsynlighetsfordelingen av en binomial tilfeldig variabel med n forsok og sannsynlighet for suksess p er:

I vart tilfelle er X en binomial tilfeldig variabel med n = 4 og p = 0,4, sa sannsynlighetsfordelingen er:

La oss bruke denne formelen til a finne P (X = 2) og se at vi far akkurat det vi fikk for.

La na se pa noen virkelig praktiske bruksomrader av binomiale tilfeldige variabler.

EKSEMPEL: Flyselskapsflyvninger.

Tidligere studier har vist at 90% av de bestilte passasjerene faktisk kommer for en flytur. Anta at et lite transportfly har 45 plasser. Vi antar at passasjerer ankommer uavhengig av hverandre. (Denne antagelsen er ikke helt noyaktig, siden ikke alle reiser alene, men vi bruker det til forsoket vart).

Mange ganger flyselskaper og # 8220; overbook & # 8221; flyreiser. Dette betyr at flyselskapet selger flere billetter enn det er plasser pa flyet. Dette skyldes at noen ganger passasjerer ikke kommer opp, og flyet ma floyes med tomme seter. Men hvis de gjor overbook, risikerer de a ha flere passasjerer enn seter. Sa, enkelte passasjerer kan v re ulykkelige. De har ogsa den ekstra bekostningen av a sette de passasjerene pa en annen flytur og muligens levere losji.

Med disse risikoene i tankene, bestemmer flyselskapet a selge mer enn 45 billetter. Hvis de onsker a holde sannsynligheten for at mer enn 45 passasjerer kommer opp for a komme pa fly til mindre enn 0,05, hvor mange billetter skal de selge?

Dette er en binomial tilfeldig variabel som representerer antall passasjerer som vises for flyet. Den har p = 0.90, og n skal bestemmes.

Anta at flyselskapet selger 50 billetter. Na har vi n = 50 og p = 0.90. Vi vil vite P (X & gt; 45), som er 1 & # 8211; P (X 45) = 1 & # 8211; 0,57 eller 0,43. Selvfolgelig ble ikke alle detaljene i denne beregningen vist, siden en statistisk teknologipakke ble brukt til a beregne svaret. Dette er absolutt mer enn 0,05, sa flyselskapet ma selge f rre seter.

Hvis vi reduserer antall solgte billetter, bor vi kunne redusere denne sannsynligheten. Vi har beregnet sannsynlighetene i folgende tabell:

Fra dette bordet kan vi se at ved a selge 47 billetter, kan flyselskapet redusere sannsynligheten for at flere passasjerer kommer opp enn det er plasser pa under 5%.

Merk: For ovelser nar du finner binomiale sannsynligheter, kan du onske a verifisere ett eller flere av resultatene fra tabellen ovenfor.

Mean and Standard Deviation av binomial Random Variable.

Na som vi forstar hvordan du finner sannsynligheter knyttet til en tilfeldig variabel X som er binomial, ved hjelp av enten dens sannsynlighetsfordelingsformel eller programvare, er vi klare til a snakke om gjennomsnittlig og standardavvik for en binomial tilfeldig variabel. La s starte med et eksempel:

EKSEMPEL: Blodtype B-middel.

Samlet sett er andelen personer med blodtype B 0,1. Med andre ord har omtrent 10% av befolkningen blodtype B.

Anta at vi prover tilfeldigvis 120 personer. I gjennomsnitt, hvor mange vil du forvente a ha blodtype B?

Svaret, 12, virker apenbart; automatisk, multipliserer du antall personer, 120, med sannsynligheten for blodtype B, 0,1.

Dette antyder den generelle formelen for a finne gjennomsnittet av en binomial tilfeldig variabel:

Hvis X er binomial med parametere n og p, er den gjennomsnittlige eller forventede verdien av X:

Selv om formelen for gjennomsnitt er ganske intuitiv, er det ikke klart hva variansen og standardavviket skal v re. Det viser seg at:

Hvis X er binomial med parametrene n og p, er variansen og standardavviket til X:

Det binomiale middel og variansen er spesielle tilfeller av vare generelle formler for gjennomsnittet og variansen av en tilfeldig variabel. Det er klart at det er mye enklere a bruke snarveien & # 8221; formler presentert over enn det ville v re a beregne gjennomsnittet og variansen eller standardavviket fra grunnen av. Husk at disse & # 8220; snarveien & # 8221; formler bare hold i tilfeller der du har en binomial tilfeldig variabel.

EKSEMPEL: Blodtype B & # 8211; Standardavvik.

Anta at vi prover tilfeldigvis 120 personer. Tallet med blodtype B skal v re om lag 12, gi eller ta hvor mange? Med andre ord, hva er standardavviket til tallet X som har blodtype B?

Siden n = 120 og p = 0,1,

I en tilfeldig prove pa 120 personer, bor vi forvente at det skal v re ca 12 med blodtype B, gi eller ta ca 3,3.

For vi gar videre til kontinuerlige tilfeldige variabler, la & # 8217; s undersoke formen pa binomiale distribusjoner.

Dette materialet ble tilpasset fra Carnegie Mellon Universitets apen l ring statistikk kurs tilgjengelig pa http://oli.cmu.edu og er lisensiert under en Creative Commons License. Andre materialer som brukes i dette prosjektet refereres nar de vises.

Hvis du har funnet disse materialene nyttige, DONERER ved a klikke pa «MAKE A GIFT» linken nedenfor eller overst pa siden! Institutt for biostatistikk vil bruke midler generert av dette oppl ringsforbedringsfondet spesielt mot biostatistikkutdanning.

Sammen bryr vi oss om vare pasienter og vare lokalsamfunn.